Se não forem dados demais, você pode fazer a coleta dessas informações de forma bem dinâmica, fazendo um fluxo que vai perguntando as coisas ao lead e armazenando em campos personalizados que são enviados ao Pluga (ou qualquer outra ferramenta).

Mas... Para receber os dados automaticamente, o contato precisar ir até o final do fluxo 

E se for muita coisa, talvez seja melhor enviar o lead/cliente para uma página com o formulário para preencher.

Você também pode usar o Typeform ou qualquer outro serviço que já salve preenchimentos parciais para recuperar informações de cadastros abandonados pela metade…

Formas existem bastantes. Você precisa encaixar uma que esteja alinhada com a estratégia e processo do negócio. 

Estou utilizando apenas 3 campos, que são o necessário para iniciar o atendimento, minha dúvida seria mesmo porque não está aparecendo esses campos quando inicia o fluxo

Você vai precisar criar os seus campos de usuário personalizados (Configurações/ Campos).

No fluxo, use  "Entrada do Usuário” e atribua o o campo personalizado que você criou.

Faça isso para os 3 que você precisa. Aí o lead vai respondendo as perguntas e o Manychat vai salvando nos campos personalizados

Ao final, você cria uma Ação com uma Requisição Externa que faz um POST para o Webhook do Pluga enviando os campos que você coletou.